Definisi & Fungsi

• Metoda pembuktian yang baku di dalam matematika.
• Digunakan untuk membuktikan pernyataan perihal bilangan bulat positif.
• Dapat mengurangi pembuktian bahwa semua bilangan bulat positif termasuk ke dalam suatu himpunan kebenaran dengan jumlah langkah terbatas

Prinsip Induksi Matematika Sederhana

t— Misalkan p(n) adalah pernyataan perihal bilangan bulat positif dan kita ingin membuktikan bahwa      p(n) benar untuk semua bilangan bulat positif n. untuk membuktikan pernyataan ini, kita hanya perlu  membuktikan bahwa :

1.      Langkah 1 :  P(1) benar/terdefinisi à Basis Induksi, dan

2.   Langkah 2 : Untuk semua bilangan bulat positif  n ³ 1, jika p(n) benar maka p(n+1) juga benar à  Hipotesis Induksi

t Bila kita sudah menunjukkan kedua langkah tersebut benar maka kita sudah membuktikan bahwa    p(n) benar untuk semua bilangan bulat positif n

Contoh

8—  Tunjukkan bahwa jumlah n buah bilangan ganjil positif pertama adalah n² melalui induksi matematik.

—8  Penyelesaian

1.     Langkah 1(Basis induksi): Untuk n = 1, kita peroleh jumlah satu buah bilangan ganjil positif pertama adalah 1² = 1. Ini benar karena jumlah satu buah bilangan ganjil positif pertama adalah 1

2.      Langkah 2 (Hipotesis induksi):  Andaikan untuk n ³ 1 pernyataan 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = n²   adalah benar [bilangan ganjil positif ke-n adalah (2n – 1)].

Kita harus memperlihatkan bahwa   1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) + (2n + 1) = (n + 1)² juga benar.

Hal ini dapat kita tunjukkan sebagai berikut:

1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) + (2n + 1) = [1 + 3 + 5 + … + (2n – 1)] + (2n + 1)

                                                                                  = n² + (2n + 1)

                                                                                  = n² + 2n + 1

                                                                                  = (n + 1)² à benar

            Karena langkah 1 dan langkah 2 keduanya telah dibuktikan benar,  maka jumlah n buah bilangan ganjil positif pertama adalah n² .

Prinsip Induksi yang Dirampatkan

t—     Misalkan p(n) adalah pernyataan perihal bilangan bulat dan kita ingin membuktikan bahwa p(n)      benar untuk semua bilangan bulat  n ³ n₀.

t—       Untuk membuktikan ini, kita hanya perlu menunjukkan bahwa:

1.      Basis Induksi: p(n₀) benar, dan

2.    Hipotesis Induksi : Untuk semua bilangan bulat  n ³ n₀, jika p(n) benar maka p(n+1) juga benar

Contoh

8—  Tunjukkan bahwa untuk n ³ 1, 1+2+3+…+n = n (n+1) / 2 melalui induksi matematik.

8—  Penyelesaian

1.      Langkah 1(Basis induksi ): Untuk n = 1, kita peroleh 1 = 1 (1+1) / 2.

1= 1 (1+1) / 2 = 1 (2) / 2 = 2/2 = 1 à benar dan terdefinisi

2.      Langkah 2 (Hipotesis induksi) :  Andaikan bahwa untuk n ³ 1, 1 + 2 + 3 +… + n = n (n+1) / 2 adalah benar (hipotesi induksi).

            Kita harus menunjukkan bahwa

            1 + 2 + 3 +… + n + (n+1) = (n+1) [(n+1) + 1)] / 2 juga benar.

            Untuk membuktikan ini, tunjukkan bahwa

            1 + 2 + 3 + … + n + (n+1)  = (1 + 2 + 3 + … + n) + (n+1)

                                                        = [ n (n+1) / 2 ] + (n+1)

                                                        = [ (n² + n) / 2 ] + (n + 1)

                                                        = [ (n² + n) / 2 ] + [ (2n + 2) / 2 ]

                                                        = (n² + 3n + 2) / 2

                                                        = (n +1) (n + 2) / 2

                                                        = [ (n + 1) (n + 1) + 1 ] / 2 à benar

            Karena langkah 1 dan langkah 2 keduanya telah dibuktikan benar,  maka untuk semua bilangan bulat positif n terbukti  1 + 2 + 3 + … + n  = n (n+1) / 2.

Prinsip Induksi Kuat

t—     Misalkan p(n) adalah pernyataan perihal bilangan bulat dan kita ingin membuktikan bahwa p(n)      benar untuk semua bilangan bulat  n ³ n₀. Untuk membuktikan ini, kita hanya perlu menunjukkan  bahwa:

1.      p(n₀) benar, dan

2.     untuk semua bilangan bulat  n ³ n₀,  jika p(n₀ ), p(n₀+1), …, p(n) benar maka p(n+1) juga benar.

Contoh

8—     Bilangan bulat positif disebut prima jika dan hanya jika bilangan bulat tersebut habis dibagi dengan 1 dan dirinya sendiri. Kita ingin membuktikan bahwa setiap bilangan bulat positif n (n ³ 2) dapat dinyatakan sebagai perkalian dari (satu atau lebih) bilangan prima. Buktikan dengan prinsip induksi kuat.

8—     Penyelesaian

1.   Basis induksi. Jika n = 2, maka 2 sendiri adalah bilangan prima dan di sini 2 dapat dinyatakan sebagai perkalian dari satu buah bilangan prima, yaitu dirinya sendiri.

2.    Langkah induksi. Misalkan pernyataan bahwa bilangan 2, 3, …, n dapat dinyatakan sebagai perkalian (satu atau lebih) bilangan prima adalah benar (hipotesis induksi). Kita perlu menunjukkan bahwa n + 1 juga dapat dinyatakan sebagai perkalian bilangan prima.

Ada dua kemungkinan nilai n + 1:

5—  Jika n + 1 sendiri bilangan prima, maka jelas ia dapat dinyatakan sebagai perkalian satu atau lebih bilangan prima.

5— Jika n + 1 bukan bilangan prima, maka terdapat bilangan bulat positif a yang membagi habis n + 1 tanpa sisa. Dengan kata lain

            (n + 1)/ a = b   atau (n + 1) = ab yang dalam hal ini, 2 £ a £ b £ n. Menurut hipotesis induksi, a dan b dapat dinyatakan sebagai perkalian satu atau lebih bilangan prima. Ini berarti, n + 1 jelas dapat dinyatakan sebagai perkalian bilangan prima, karena n + 1 = ab.

     

            Karena langkah 1 dan langkah 2 sudah ditunjukkan benar, maka terbukti bahwa setiap bilangan bulat positif n (n ³ 2) dapat dinyatakan sebagai perkalian dari (satu atau lebih) bilangan prima

Bentuk Induksi Secara Umum

t—     Relasi biner "<" pada himpunan X dikatakan terurut dengan baik (atau himpunan X dikatakan terurut dengan baik dengan "<") bila memiliki properti berikut:

1.      Diberikan x, y, z Î X, jika x < y dan y < z, maka x < z.

2.      Diberikan x, y Î X. Salah satu dari kemungkinan ini benar: x < y atau y < x atau x = y.

3.   Jika A adalah himpunan bagian tidak kosong dari X, terdapat elemen x Î A sedemikian sehingga  x £ y untuk semua y Î A. Dengan kata lain, setiap himpunan bagian tidak kosong dari X mengandung "elemen terkecil".

t—   Misalkan X terurut dengan baik oleh "<", dan p(x) adalah pernyataan perihal elemen x dari X. Kita ingin membuktikan bahwa p(x) benar untuk semua x Î X. Untuk membuktikan ini, kita hanya perlu menunjukkan bahwa:

1.      p(x₀) benar, yang dalam hal ini x₀ adalah elemen terkecil di dalam X, dan

2.      Untuk semua x > x₀ di dalam X, jika p(y) benar untuk semua y < x, maka p(x) juga benar.

Contoh

—  Tinjau barisan bilangan yang didefinisikan sebagai berikut:

—  Sebagai contoh,

            S_0,0  = 0                                    S_{1, 0} = S_0,0 + 1 = 0 + 1 = 1

            S_{0, 1} = S_0,0 + 1 = 1                    S_{1, 1} = S_1,0 + 1 = 1 + 1 = 2

            S_{2, 0} = S_1,0 + 1 = 2                    S_{2, 1} = S_2,0 + 1 = 3, …

—  Buktikanlah dengan induksi matematik bahwa untuk pasangan tidak negatif m dan n, S_{m, n} = m + n.

—  Penyelesaian

5—  Basis induksi. Karena (0, 0) adalah elemen terkecil di dalam X, maka S₀,₀ = 0 + 0 = 0. Ini benar dari definisi S_0,0.

5—   Langkah induksi. Buktikan untuk semua (m, n)  >  (0, 0) di dalam X bahwa jika S_m',n' = m' + n' benar untuk semua (m', n')  <  (m, n) maka S_{m, n} = m + n juga benar. Andaikan bahwa S_{m’, n’} = m’ + n’ benar untuk semua (m’, n’) < (m,n).  Ini adalah hipotesis induksi. Kita perlu menunjukkan bahwa S_m,n = m + n, baik untuk n = 0 atau n ¹ 0.

0—  Kasus 1: Jika n = 0, maka dari definisi S_m,n = S_m-1,n + 1.

Karena (m-1, n) < (m, n), maka dari hipotesis induksi,  

                           S_{m-1, n} = (m – 1) + n

sehingga S_m,n = S_m-1,n + 1 = (m – 1) + n + 1 = m + n.
0—  Kasus 2: Jika n ¹ 0, maka dari definisi S_m,n = S_m,n-1 + 1.

Karena (m, n-1) < (m, n), maka dari hipotesis induksi,

                                 S_{m, n-1} = m + (n – 1) 
                     sehingga S_m,  n = S_m, n-1 + 1 = m + (n – 1) + 1 = m + n.

Continue reading

PIECES

Untuk menentukan suatu sistem baru itu layak atau tidak, maka diperlukan suatu analisis terhadap kriteria-kriteria yaitu kinerja (Performance), informasi (Information), ekonomi (Economic), kontrol (Control), efisiensi (Efficiency), dan pelayanan (Services) yang lebih dikenal sebagai Analisis PIECES.

• Performance

Kinerja diukur dengan troughput dan response time. Troughput adalah jumlah informasi yang dihasilkan dalam jangka waktu tertentu. Response time adalah waktu tunggu antara permintaan informasi dengan tanggapan yang dihasilkan sistem informasi.

• Information

Informasi adalah hal yang paling utama dalam pemasaran, untuk dapat melakukan perluasan pemasaran dibutuhkan akses informasi yang cepat dan tepat. Dan syarat utama dari sebuah Informasi adalah Akurasi, Tepat Waktu dan Relevan.

• Economic

Ekonomi merupakan motivasi paling umum bagi suatu proyek. Persoalan ekonomis berkait dengan masalah biaya, sehingga diharapkan dalam suatu proyek mengalami peningkatan keuntungan atau penurunan biaya pengeluaran.

• Control

Pengendalian dalam suatu sistem sangat diperlukan keberadaanya untuk menghindari dan mendeteksi secara dini terhadap penyalah gunaan kesalahan sistem serta menjamin keamanan data dan informasi. Dengan adanya control maka tugas-tugas kinerja yang mengalami gangguan dapat diperbaiki.

• Efficiency

Sistem dikatakan efisien atau berhasil guna ketika dapat mencapai sasaran yang diingingkan sehingga tidak menggeluarkan banyak waktu dan tenaga yang berlebihan.

• Services

Peningkatan pelayanan dimaksudkan untuk meningkatkan kinerja sebuah sistem. Apakah sistem tersebut merupakan sistem yang mudah atau tidak, apakah sistem ini mempunyai kemampuan dalam menangani bebrapa hal yang muncul dari suatau kondisi.

SWOT

Analisis SWOT adalah metode perencanaan strategis yang digunakan untuk mengevaluasi kekuatan (strengths), kelemahan (weaknesses), peluang (opportunities), dan ancaman (threats) dalam suatu proyek atau suatu spekulasi bisnis. Keempat faktor itulah yang membentuk akronim SWOT (strengths, weaknesses, opportunities, dan threats). Proses ini melibatkan penentuan tujuan yang spesifik dari spekulasi bisnis atau proyek dan mengidentifikasi faktor internal dan eksternal yang mendukung dan yang tidak dalam mencapai tujuan tersebut. Analisis SWOT dapat diterapkan dengan cara menganalisis dan memilah berbagai hal yang mempengaruhi keempat faktornya, kemudian menerapkannya dalam gambar matrik SWOT, dimana aplikasinya adalah bagaimana kekuatan (strengths) mampu mengambil keuntungan (advantage) dari peluang (opportunities) yang ada, bagaimana cara mengatasi kelemahan (weaknesses) yang mencegah keuntungan (advantage) dari peluang (opportunities) yang ada, selanjutnya bagaimana kekuatan (strengths) mampu menghadapi ancaman (threats) yang ada, dan terakhir adalah bagimana cara mengatasi kelemahan (weaknesses) yang mampu membuat ancaman (threats) menjadi nyata atau
menciptakan sebuah ancaman baru.

Continue reading

Unified Modeling Language (UML)  merupakan salah satu alat bantu yang dapat digunakan dalam bahasa pemograman yang berorientasi objek, saat ini UML akan mulai menjadi standar masa depan bagi industri pengembangan sistem/perangkat lunak yang berorientasi objek sebab pada dasarnya UML digunakan oleh banyak perusahaan raksasa seperti IBM, Microsoft, dan sebagainya.

Definisi UML

1.      Unified Modeling Language merupakan metode pengembangan perangkat lunak (sistem informasi) dengan menggunakan metode grafis serta merupakan bahasa untuk visualisasi, spesifikasi, konstruksi serta dokumentasi [Adin05].

2.      Unified Modeling Language (UML) adalah bahasa yang telah menjadi standard untuk visualisasi, menetapkan, membangun dan mendokumentasikan arti suatu sistem perangkat lunak [Hend07].

3.      Unified Modeling Language (UML) dapat didefinisikan sebagai sebuah bahasa yang telah menjadi standar dalam industri untuk visualisasi, merancang dan mendokumentasikan sistem perangkat lunak [Afif02].

4.      Unified Modeling Language (UML) merupakan standard modeling language yang terdiri dari kumpulan-kumpulan diagram, dikembangkan untuk membantu para pengembang sistem dansoftware agar bisa menyelesaikan tugas-tugas seperti [Joml07] :

§  Spesifikasi

§  Visualisasi

§  Desain arsitektur

§  Konstruksi

§  Simulasi dan testing

§  Dokumentasi

Berdasarkan beberapa pendapat yang dikemukakan diatas dapat ditarik kesimpulan bahwa “Unified Modeling Language (UML) adalah sebuah bahasa yang berdasarkan grafik atau gambar untuk menvisualisasikan, menspesifikasikan, membangun dan pendokumentasian dari sebuah sistem pengembangan perangkat lunak berbasis Objek (OOP)  (Object Oriented programming)”.

2.2 Deployment Diagram

1. Pengertian Deployment Diagram

Deployment diagram merupakan gambaran proses-proses berbeda pada suatu sistem yang berjalan dan bagaimana relasi di dalamnya. Hal inilah yang mempermudah user dalam pemakaian sistem yang telah dibuat dan diagram tersebut merupakan diagram yang statis. Misalnya untuk mendeskripsikan sebuah situs web, deployment diagram menunjukkan komponen perangkat keras ("node") apa yang digunakan (misalnya, web server, server aplikasi, dan database server), komponen perangkat lunak ("artefak") apa yang berjalan pada setiap node (misalnya, aplikasi web, database), dan bagaimana bagian-bagian yang berbeda terhubung (misalnya JDBC, REST, RMI).

Node digambarkan sebagai kotak, dan artefak yang dialokasikan ke setiap node digambarkan sebagai persegi panjang di dalam kotak. Node mungkin memiliki subnodes, yang digambarkan sebagai kotak nested. Sebuah node tunggal secara konseptual dapat mewakili banyak node fisik, seperti sekelompok database server.

Ada dua jenis Nodes. 

1.      Device Node, secara fisikal menghitung sumber daya dengan pengolahan memory dan services untuk mengeksekusi software, seperti komputer atau mobile phone.

2.      Execution Environment Node (EEN) adalah software penghitung sumber daya yang berjalan dalam outer node dan menyediakan layanan untuk host dan mengeksekusi executable software.

Deployment Diagram - Winbrello

Deployment Diagram adalah diagram yang menggambarkan detail bagaimana komponen di-sebar (di-deploy) kedalam infrastruktur sistem, dimana komponen akan terletak (pada mesin, node, server atau piranti keras apa), bagaimana kemampuan jaringan pada lokasi tersebut, spesifikasi server, dan hal-hal lain yang bersifat fisikal.

Contoh Program :

Deployment diagram juga  menunjukkan perangkat keras sistem dan perangkat lunak dalam perangkat keras tersebut. Diagram Deployment berguna ketika solusi perangkat lunak Anda dikerahkan di beberapa mesin dengan masing-masing memiliki konfigurasi yang unik.

Deployment Diagram mewakili pandangan pengembangan sistem sehingga akan hanya ada satu deployment diagram untuk satu sistem. deployment diagram terdiri dari node-node merupakan perangkat keras fisik yang digunakan untuk menyebarkan aplikasi. deployment diagram banyak di gunakan oleh System Engineer.

2. Simbol-simbol pada Deployment Diagram

3. Contoh Deployment Diagram

2.3 Komponen Pada Deployment Diagram

·         Menggambarkan arsitektur system

·         Pemetaan software(component pada component diagram) yang jalan di sebuah hardware (node pada deployment diagram)

·         Software component tidak selalu menggambarkan setiap software component yang ada pada sebuah Komputer(system operasi/Microsoft Office, dll), akan tetapi software component tersebut akan digambarkan ketika ada hubungan dengan pengimplementasian sebuah system

·         Menggambarkan bagaimana s/w dan h/w bekerja sama

·         Menggambarkan topologi jaringan

·         Artifact

-        Spesifikasi dari bentuk physic informasi yang digunakan atau dihasilkan

-        Contoh : source file, script, executable file, table di database, document word/excel, e-mail, dll

-        Digambarkan dengan bentuk 

·         Dapat dihubungkan dengan component pada component diagram

·         Hanya digambarkan dalam sebuah node

·         perhatikan potongan program dibawah ini yang sesuai dengan artifact yang ada:

·          

·          

·          

·          

·         //code style sheet

·          

·        

·         Node

·         Adalah hardware seperti

·         computer/PDA ,lap top, handphone

·         peralatan komunikasi data (router,hub,switch,modem)

·         dll

·         Digambarkan dengan bentuk kotak 3 dimensi

·          

·         Node dapat digabungkan dengan component pada component diagram

·        

·         Node dapat digambarkan dengan bentuk visual, ataupun gabungan antara node dan visual

·         

·         Association

·         Digambarkan dengan sebuah garis yang menghubungkan antara node

·         Setiap association mempunyai sebuah stereotypes seperti

·         

·        

·         Dependencies

·         Digambarkan dengan garis terputus yang berpanah terbuka

·         deploy

·         Sebuah garis terputus dengan ujung panah terbuka yang tertuju ke node dengan sebuah stereotypes <> untuk menggambarkan software yang terdapat pada sebuah hardware

·      

 

·         Contoh Deployment Diagram (Order Processing System)

Dirangkum dari berbagai sumber.

Continue reading